Auflösung Wettbewerb Oktober 2011: Oktaeder

Die Lösungszahl lautet 23. Es gibt 23 wirklich verschiedene Oktaeder, die nicht durch Drehen identisch gemacht werden können.

Am besten löst man dieses Problem, in dem man nach der Anzahl der schwarzen und weissen Flächen unterscheidet.

  • Es gibt genau einen Oktaeder, der komplett schwarz ist.
  • Es gibt genau einen Oktaeder mit einer weissen und sieben schwarzen Flächen.
  • Bei zwei weissen Flächen wird es schon schwieriger. Hier gibt es drei verschiedene Oktaeder: 1. Die beiden weissen Flächen haben eine gemeinsame Kante. 2. Die weissen Flächen stossen an einer Ecke zusammen. 3. Die weissen Flächen sind gegenüberliegend.
  • Bei drei weissen Flächen gibt es ebenfalls drei verschiedene Oktaeder.
  • Für 5, 6, 7 und 8 weisse Flächen gibt es aus Symmetriegründen gleich viele verschiedene Oktaeder wie für 3, 2, 1 und 0 weisse Flächen.
  • Es verbleibt der Fall von vier weissen und vier schwarzen Flächen. Dieser Fall ist wirklich schwer zu lösen. Es gibt hier 7 verschiedene Oktaeder - und nicht 6, wie es vermutlich fünf Teilnehmer glaubten, die auf die Lösungszahl 22 kamen.
    Unter den 7 verschiedenen Oktaedern mit 4 weissen und 4 schwarzen Flächen gibt es zwei Oktaeder, die Spiegelbilder voneinander sind. Man kann sie nicht durch Drehen zur Deckung bringen, wie es in der Aufgabe verlangt war, aber wenn man den einen Oktaeder im Spiegel betrachtet, dann sieht er genauso aus wie der andere. Unter Berücksichtigung von Drehungen und Spiegelungen gäbe es daher hier nur 6 und damit insgesamt nur 22 verschiedene Oktaeder.
Anzahl weisser Flächen Anzahl schwarzer Flächen Anzahl verschiedener Oktaeder ohne Beachtung von Rotationen Anzahl wirklich verschiedener Oktaeder mit Beachtung von Rotationen
0 8 1 1
1 7 8 1
2 6 28 3
3 5 56 3
4 4 70 7
5 3 56 3
6 2 28 3
7 1 8 1
8 0 1 1
Summe Summe 256 23

Wie zählt man am besten systematisch die verschiedenen Oktaeder für 4 schwarze und 4 weisse Flächen ab?

Um hier nicht die Übersicht zu verlieren, empfiehlt es sich, die verschiedenen Oktaeder zuerst zu normieren, indem man sie zunächst so dreht, dass sich maximal viele schwarze Flächen oben befinden. Das führt zu drei Fallunterscheidungen:

  1. vier schwarze Flächen oben, vier weisse Flächen unten
    Hier gibt es genau einen Oktaeder. Man könnte ihn "Die zwei Pyramiden" nennen, weil er praktisch aus einer schwarzen und einer weissen Pyramide besteht, deren Grundflächen aneinandergelegt sind.
  2. drei schwarze und eine weisse Fläche oben, drei weisse und eine schwarze Fläche unten
    Hier gibt es vier verschiedene Oktaeder. Passende Namen für sie wären "Die zwei Sterne", "Die aufgeklappten Pyramiden", "Die S-förmigen Schlangen" und "Die ?-förmigen Schlangen". Die letzten beiden sind Spiegelbilder voneinander.
  3. oben und unten je zwei schwarze und zwei weisse Flächen, egal wie man den Oktaeder dreht
    Hier gibt es zwei verschiedene Oktaeder: "kariert" und "gestreift"